\chapter{泊松方程的原始推导(1813)：基于经典方法的分析}
	
	\begin{abstract}
		本文严格遵循西蒙·丹尼斯·泊松在1813年的原始处理方法，不使用现代分布理论工具，重现了泊松方程的经典推导过程。通过考察泊松对球对称电荷分布的分析和极限过程，展示了如何从库仑定律自然导出势函数与电荷密度的关系。这种历史视角有助于理解偏微分方程理论的发展脉络。
		
		\textbf{关键词}：泊松方程；经典推导；势理论；静电学
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在19世纪初的数学物理研究中，泊松面对的主要问题是如何将拉普拉斯的势函数理论推广到存在电荷分布的情形。与现代使用广义函数的方法不同，泊松采用了以下经典策略：
	
	\begin{itemize}
		\item 将点电荷视为有限半径小球上的电荷分布
		\item 通过物理直观的极限过程处理奇点
		\item 显式计算电荷体分布产生的势
	\end{itemize}
	
	\section{泊松的物理模型}
	\subsection{基本假设}
	泊松的推导基于三个核心物理事实：
	\begin{enumerate}
		\item 库仑力定律：$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$
		\item 电势叠加原理
		\item 导体表面电荷分布的边界条件
	\end{enumerate}
	
	\subsection{势函数的定义}
	对于离散点电荷系统，电势定义为：
	\begin{equation}
		\phi(\mathbf{r}) = \sum_i \frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 |\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|}
	\end{equation}
	
	对于连续分布，过渡到积分形式：
	\begin{equation}
		\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} dV'
	\end{equation}
	
	\section{原始推导过程}
	\subsection{球对称分布情形}
	泊松首先考虑半径为$a$的均匀带电球体，电荷密度为$\rho$。通过分区域计算：
	
	1. 球外($r>a$)：
	\begin{equation}
		\phi_{ext}(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{\rho a^3}{3\epsilon_0 r}
	\end{equation}
	
	2. 球内($r\leq a$)：
	\begin{equation}
		\phi_{int}(r) = \frac{\rho}{2\epsilon_0}\left(a^2 - \frac{r^2}{3}\right)
	\end{equation}
	
	\subsection{拉普拉斯算子的作用}
	计算球内势函数的拉普拉斯方程：
	\begin{equation}
		\nabla^2 \phi_{int} = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\phi}{dr}\right) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	
	这正是泊松方程在球内的形式。
	
	\subsection{极限过程处理点电荷}
	泊松通过令$a\to 0$同时保持总电荷$Q = \frac{4}{3}\pi a^3\rho$不变，将分布解与点电荷解联系起来。他注意到：
	
	\begin{equation}
		\lim_{a\to 0} \nabla^2 \phi_{int} = -\frac{3Q}{4\pi a^3\epsilon_0} \to -\infty
	\end{equation}
	
	但积分后仍保持有限关系：
	\begin{equation}
		\int_{\text{全空间}} \nabla^2 \phi \, dV = -\frac{Q}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	
	\section{一般情形的推广}
	泊松通过以下步骤完成一般证明：
	
	1. 将任意电荷分布分解为无限小体积元$dV'$
	
	2. 每个体积元视为点电荷$\rho(\mathbf{r}')dV'$
	
	3. 利用叠加原理得到总势：
	\begin{equation}
		\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} dV'
	\end{equation}
	
	4. 应用拉普拉斯算子并交换运算顺序：
	\begin{equation}
		\nabla^2 \phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{r}') \nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) dV'
	\end{equation}
	
	5. 利用关键恒等式（泊松发现）：
	\begin{equation}
		\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) = -4\pi \delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}')
	\end{equation}
	
	（注：泊松实际上用极限过程证明了积分形式的等价关系）
	
	\section{数学细节修正}
	为避免使用$\delta$函数，泊松采用以下严格方法：
	
	对于任意测试函数$f(\mathbf{r})$，证明：
	\begin{equation}
		\lim_{\epsilon\to 0} \int_{|\mathbf{r}|>\epsilon} f(\mathbf{r}) \nabla^2 \left(\frac{1}{r}\right) dV = -4\pi f(0)
	\end{equation}
	
	通过分部积分和格林定理，转化为面积分：
	\begin{equation}
		\lim_{\epsilon\to 0} \oint_{r=\epsilon} \left[ f(\mathbf{r}) \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right) - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} \right] dS
	\end{equation}
	
	计算可得：
	\begin{equation}
		= \lim_{\epsilon\to 0} \left[ -\frac{1}{\epsilon^2} \oint f dS + \frac{1}{\epsilon} \oint \frac{\partial f}{\partial r} dS \right] = -4\pi f(0)
	\end{equation}
	
	\section{历史意义与结论}
	泊松的原始方法展示了：
	\begin{itemize}
		\item 如何通过物理直观引导数学发现
		\item 极限过程在解决奇点问题中的核心作用
		\item 偏微分方程与积分方程之间的深刻联系
	\end{itemize}
	
	这种经典推导不仅具有历史价值，其严格性也符合现代分析标准。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{poisson1813} 
		Poisson, S. D. (1813). "Remarques sur une équation qui se présente dans la théorie des attractions des sphéroïdes". \textit{Nouveau Bulletin des Sciences par la Société Philomatique de Paris}.
		
		\bibitem{whittaker} 
		Whittaker, E. T. (1951). \textit{A History of the Theories of Aether and Electricity}. Vol. 1, Chapter 4.
		
		\bibitem{griffiths} 
		Griffiths, D. J. (2013). \textit{Introduction to Electrodynamics}. 4th ed. Pearson.
	\end{thebibliography}
	